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目录

1.采样率(fs​)与采样定理——奈奎斯特采样定理

2.信号的频谱分析

连续信号

离散信号

3.频谱混叠

1.采样率(fs​)与采样定理——奈奎斯特采样定理

采样率是指对连续模拟信号进行离散化时，每秒采集的样本点数，单位为Hz(赫兹，1Hz=1个样本/秒)，记作fs​。采样本质是用离散的样本序列{x(nTs​)}逼近连续信号x(t)，其中Ts​=fs​1​称为采样周期。连续信号x(t)经过采样后，得到离散采样信号x(n)：

其中n=0,1,2,… 为离散时间索引，Ts为采样周期。

为了能从离散采样信号中无失真恢复出原始连续信号，采样率必须满足：

fmax：原始连续信号的最高频率分量；

2fmax：称为奈奎斯特频率，是无失真采样的最小采样率。

采样率不足(fs ​<2fmax)是导致频谱混叠的唯一根源。

下面，我们通过MATLAB给定连续正弦信号，设置不同采样率，生成离散采样信号，对比时域波形差异。

clear; clc; close all; % 1. 定义原始连续信号参数（单频正弦信号，最易验证） f0 = 50; % 信号真实频率 f0=50Hz（f_max=50Hz） A = 1; % 信号幅度 phi = 0; % 初始相位 t_cont = 0:1e-5:0.2; % 连续时间轴（步长1e-5，近似连续） x_cont = A * sin(2*pi*f0*t_cont + phi); % 连续信号 x(t) % 2. 设置两种采样率（对比） fs1 = 200; % 采样率1：fs1=200Hz ≥ 2*50=100Hz（满足奈奎斯特） fs2 = 80; % 采样率2：fs2=80Hz < 100Hz（不满足奈奎斯特） Ts1 = 1/fs1; Ts2 = 1/fs2; % 采样周期 t1 = 0:Ts1:0.2; % 离散时间轴1 t2 = 0:Ts2:0.2; % 离散时间轴2 x1 = A * sin(2*pi*f0*t1 + phi); % 离散信号1 x(n)=x(nTs1) x2 = A * sin(2*pi*f0*t2 + phi); % 离散信号2 x(n)=x(nTs2) % 3. 绘图对比 figure('Color','w'); subplot(2,1,1); plot(t_cont, x_cont, 'b-', 'LineWidth',1); hold on; stem(t1, x1, 'r.', 'MarkerSize',10); grid on; title(['采样率 f_s=',num2str(fs1),'Hz（满足奈奎斯特定理）']); xlabel('时间 t (s)'); ylabel('幅值 x(t)'); legend('连续信号','离散采样信号','Location','best'); subplot(2,1,2); plot(t_cont, x_cont, 'b-', 'LineWidth',1); hold on; stem(t2, x2, 'r.', 'MarkerSize',10); grid on; title(['采样率 f_s=',num2str(fs2),'Hz（不满足奈奎斯特定理）']); xlabel('时间 t (s)'); ylabel('幅值 x(t)'); legend('连续信号','离散采样信号','Location','best');

测试结果如下：

当采样率为200Hz时，离散采样点紧密贴合连续信号波形，能准确表征原始信号；

当采样率为80Hz时，离散采样点稀疏，无法贴合连续信号波形。

2.信号的频谱分析

频谱是信号在频率域的表征，描述了信号由哪些不同频率的正弦/余弦分量组成，以及各分量的幅度和相位，核心分为幅度频谱和相位频谱，工程中最常用幅度频谱。

连续信号

连续时域信号x(t)→连续频域信号X(jω)：

离散信号

离散采样信号x(n)(共N个点)→ 离散频域信号X(k)：

基于步骤1的离散信号，用FFT计算频谱，绘制幅度频谱图：

clear; clc; close all; % 1. 信号与采样参数（沿用步骤1，满足奈奎斯特） f0 = 50; A = 1; phi = 0; fs = 200; Ts = 1/fs; % 采样率200Hz，无混叠 t = 0:Ts:0.2; N = length(t); % 采样点数N x = A * sin(2*pi*f0*t + phi); % 离散采样信号 % 2. FFT计算频谱（核心：离散傅里叶变换） X = fft(x); % 计算DFT/FFT absX = abs(X); % 幅度频谱 f = (0:N-1)*fs/N; % 频率轴（对应每个X(k)的频率） % 3. 频谱归一化（仅展示0~fs/2的有效频谱，工程标准做法） half_N = floor(N/2); absX_half = 2*absX(1:half_N)/N; % 幅度归一化（单频信号幅值修正） f_half = f(1:half_N); % 有效频率轴：0 ~ fs/2 % 4. 绘图：时域波形 + 幅度频谱 figure('Color','w'); subplot(2,1,1); stem(t, x, 'b.', 'MarkerSize',10); grid on; title('时域离散信号'); xlabel('时间 t (s)'); ylabel('幅值 x(n)'); subplot(2,1,2); plot(f_half, absX_half, 'r-', 'LineWidth',2); grid on; title('频域幅度频谱'); xlabel('频率 f (Hz)'); ylabel('归一化幅度 |X(k)|'); xlim([0, fs/2]); % 仅显示0~奈奎斯特频率区间 [~, idx] = max(absX_half); % 提取峰值频率 f_est = f_half(idx); % 估计频率 text(f0+5, max(absX_half)/2, ['峰值频率=',num2str(f_est),'Hz'], 'FontSize',12);

测试结果如下：

频谱图中峰值频率 = 48.7805Hz，与真实频率基本一致，验证FFT频谱分析的正确性。

3.频谱混叠

当采样率不满足奈奎斯特定理(fs ​<2fmax )时，原始信号中高于奈奎斯特频率的高频分量，会被错误地折叠到0~fs/2的低频区间，导致频谱失真、频率混淆，这种现象称为频谱混叠。

设原始信号的真实频率为f0​，采样率为fs​，则混叠后观测到的虚假频率fa​满足公式：

其中m为整数，且满足0<fa​<2fs​​（混叠频率必然落在0~ 奈奎斯特频率区间）。

我们通过编写如下程序，分析频谱混叠现象：

clear; clc; close all; % ===================== 场景1：满足奈奎斯特定理（无混叠）===================== f0 = 50; % 真实频率50Hz fs1 = 800; % 采样率800Hz → 奈奎斯特频率400Hz，f0<400Hz（无混叠） Ts1 = 1/fs1; t1 = 0:Ts1:0.2; N1 = length(t1); x1 = sin(2*pi*f0*t1); % 离散信号 X1 = fft(x1); absX1 = 2*abs(X1(1:floor(N1/2)))/N1; f1 = (0:floor(N1/2)-1)*fs1/N1; % 频率轴 % ===================== 场景2：不满足奈奎斯特定理（有混叠）===================== fs2 = 75; % 采样率75Hz （混叠） Ts2 = 1/fs2; t2 = 0:Ts2:0.2; N2 = length(t2); x2 = sin(2*pi*f0*t2); % 离散信号 X2 = fft(x2); absX2 = 2*abs(X2(1:floor(N2/2)))/N2; f2 = (0:floor(N2/2)-1)*fs2/N2; % 频率轴 % 计算混叠虚假频率（验证公式） m = 1; % 满足0<fa<fs2/2的整数 fa = abs(f0 - m*fs2); % % ===================== 绘图对比 ===================== figure('Color','w'); subplot(2,1,1); plot(f1, absX1, 'b-', 'LineWidth',2); grid on; title(['无混叠：f_s=',num2str(fs1),'Hz，真实频率f0=',num2str(f0),'Hz']); xlabel('频率 f (Hz)'); ylabel('归一化幅度'); xlim([0, fs1/2]); text(f0+20, max(absX1)/2, ['峰值频率=',num2str(f0),'Hz'], 'FontSize',12); subplot(2,1,2); plot(f2, absX2, 'r-', 'LineWidth',2); grid on; title(['有混叠：f_s=',num2str(fs2),'Hz，混叠虚假频率fa=',num2str(fa),'Hz']); xlabel('频率 f (Hz)'); ylabel('归一化幅度'); xlim([0, fs2/2]); text(fa, max(absX2)/2, ['峰值频率=',num2str(fa),'Hz'], 'FontSize',12);

测试结果如下：

当fs=800Hz时，频谱峰值=50Hz，与真实频率一致，无混叠；

当fs=75Hz时，频谱峰值=25Hz，与混叠公式计算的fa=25Hz完全一致，发生混叠；