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图形旋转与翻折的四大经典题型解析

在初中几何的学习中，图形变换始终是连接“静态性质”与“动态思维”的桥梁。尤其是旋转与翻折，它们不仅是《义务教育数学课程标准》中的核心内容，更频繁出现在各地中考压轴题中，成为拉开差距的关键所在。

这两类变换本质上都是全等变换——保持图形大小不变、形状不改，但位置发生改变。而正是这种“变中有不变”的特性，使得我们能在纷繁复杂的图形中捕捉到隐藏的等量关系、角度传递路径和相似结构。本文将围绕四个高频组合：旋转与等腰三角形、旋转与直角三角形、旋转与相似三角形、翻折与相似三角形，结合典型真题，深入剖析其背后的几何模型与解题逻辑。

旋转与等腰三角形：从“保距”出发，构建等腰结构

旋转的本质是绕定点按固定角度转动图形，过程中所有对应点到旋转中心的距离保持不变。这一“保距性”直接催生了一个重要结论：

旋转前后，原图与像图上任意一对对应点与旋转中心构成等腰三角形。

比如，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，则AB = AE、AC = AD ⇒ △ABE 和 △ACD 均为等腰三角形。

掌握这一点，许多看似复杂的旋转问题便迎刃而解。

来看一道经典例题（2017徐汇区二模第18题）：

在△ABC中，∠ACB = α（90° < α < 180°），将△ABC绕着点A逆时针旋转2β（0° < β < 90°）得△AED，连接CD，若CD ⊥ ED，求α与β的关系。

分析思路如下：

• 旋转角为2β ⇒ ∠BAE = 2β；
• AB = AE ⇒ ∠ABE = ∠AEB = 90° − β；
• 又CD ⊥ ED ⇒ ∠CDE = 90°；
• 观察四边形ACDE或利用多边形内角和，结合原角α，可推导出：
  $$
  \alpha + 2\beta = 180^\circ
  $$

这个结果其实揭示了一种常见模式：当旋转后出现垂直条件时，往往可以通过角度代换建立线性方程。

再看一题强化理解（2015奉贤区二模第18题）：

钝角△ABC中，∠A = 35°，O为AB中点，OC为中线。将△AOC绕O顺时针旋转至点C′落在BC上，且A、C、A′共线，求∠BA′C′。

关键突破口在于：

• O是中点 ⇒ AO = BO；
• 旋转 ⇒ OA = OA′，OC = OC′；
• A、C、A′共线 ⇒ ∠ACA′ = 180°，形成平角；
• 利用对称性和外角定理逐步导角，最终得出：
  $$
  \angle BA’C’ = 20^\circ
  $$

这类题目考验的是对“中点+旋转”所引发的对称性的敏感度。

再来一个更具构造性的例子（2016崇明县模拟第18题）：

Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = BC = 2，绕C逆时针旋转60°得△MNC，连接BM，求BM长度。

观察发现：

• 原三角形为等腰直角三角形；
• 绕C旋转60° ⇒ CB → CM，且CB = CM ⇒ △BCM为等腰三角形；
• 更妙的是，夹角∠BCM = 60° ⇒ △BCM为等边三角形！

因此，BM = BC = 2。

这正是所谓“旋转出等腰，巧变等边形”的典范——通过旋转创造特殊三角形，从而简化计算。

至于文末提到的矩形沿对角线折叠问题（2015虹口区二模第18题），虽然表面是翻折，实则也可视为一种局部旋转思想的应用：折痕即对称轴，对应点关于其镜像对称，而整个过程仍满足距离守恒原则。

旋转与直角三角形：特殊角下的几何重构

直角三角形由于具备勾股定理、锐角三角函数、斜边中线等丰富性质，常作为旋转操作的理想载体。尤其当旋转角为30°、45°、60°、90°等特殊值时，极易构造出新的直角或等腰结构。

模型一：“一线三垂直” + 参数法

所谓“一线三垂直”，是指三条互相垂直的线段交汇于一条直线，从而形成多个共角的直角三角形，进而触发相似关系。

例如：

将Rt△ABC（∠C=90°）绕C旋转θ角得△A’B’C，若AA’⊥BB’，求θ。

此类题可用坐标法快速破解：

• 设C(0,0)，A(a,0)，B(0,b)；
• 旋转后A’(a cosθ, a sinθ)，B’(-b sinθ, b cosθ)；
• 向量AA’ = (a cosθ - a, a sinθ)，BB’ = (-b sinθ, b cosθ - b)；
• AA’ · BB’ = 0 ⇒ 解得θ = 45°。

纯几何法也可行：作辅助线构造“一线三垂”，利用全等转移角度，最终导出θ = 45°。

模型二：“鸡爪模型”与旋转补形

“鸡爪模型”形象地描述了从某一点引出三条线段的情形，常见于正方形内部一点到三个顶点的距离已知，求第四段长度的问题。

典型题：

正方形ABCD中，P为内点，PA = 1，PB = 2，PC = 3，求PD。

解法精髓在于旋转补形：

• 将△APB绕B点逆时针旋转90°至△CQB；
• 得到PQ = PB√2 = 2√2，且∠PBQ = 90°；
• 连接QC，在△PQC中使用勾股定理验证是否成立；
• 实际上可通过坐标设定精确求解，最终得PD = √5。

此法核心是通过旋转构造全等三角形，实现边长迁移，属于高阶技巧。

模型三：“半角模型”与全等转化

“半角模型”最典型的场景是在正方形中，由顶点引出一条射线，使其与两边夹角之和为45°。

如：

正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF = 45°，求证：EF = BE + DF。

标准解法：

• 将△ADF绕A点逆时针旋转90°至△ABG；
• 则G在CB延长线上，AG = AF，BG = DF；
• ∠GAE = ∠GAB + ∠BAE = ∠DAF + ∠BAE = (45°−∠BAE) + ∠BAE = 45°；
• 故△AGE ≌ △AFE（SAS）⇒ GE = EF；
• 而GE = GB + BE = DF + BE ⇒ EF = BE + DF。

整个过程宛如拼图重组，体现了旋转在构造全等中的强大威力。

模型四：等腰直角三角形旋转后的共圆现象

考虑如下情境：

等腰Rt△ABC中，AB = AC，∠A = 90°，绕A旋转45°得△ADE，连接BD、CE交于F，求∠BFC。

分析要点：

• 旋转后△ADE仍是等腰直角三角形；
• ∠BAD = 45°，而原∠BAC = 90° ⇒ ∠CAD = 45°；
• 结合对称性可知，点B、F、C、A可能共圆；
• 利用圆周角定理 ⇒ ∠BFC = 180° − ∠BAC = 135°。

该结论具有一般性：两个等腰直角三角形共享顶点并旋转一定角度后，其非公共边交点常与原三角形构成共圆结构。

旋转与相似三角形：比例关系的生成器

当旋转角非特殊角度，或原始图形不对称时，单纯依赖全等难以推进，此时相似三角形成为破局关键。

情况一：平行触发X型相似

△ABC中，AB = 10，AC = 6，绕A旋转得△ADE，若DE ∥ BC，求AD的长度。

关键洞察：

• DE ∥ BC ⇒ ∠ADE = ∠ABC；
• 旋转 ⇒ ∠DAE = ∠BAC；
• ⇒ △ADE ∽ △ABC（AA）；
• 对应边成比例 ⇒ AD/AB = AE/AC = k；
• 由AC = 6，AB = 10 ⇒ k = 6/10 = 3/5；
• 故AD = k·AB = 6。

注意：若缺少AB = 10这一条件，则只能表达比例关系，无法确定具体数值。这提醒我们在审题时必须关注“可解性条件”。

情况二：共角共边型相似的经典应用

等腰△ABC（AB = AC），绕A旋转得△ADE（AD = AE），连接BD、CE，求证：△ABD ∽ △ACE。

证明思路清晰：

• AB = AC，AD = AE；
• ∠BAD = ∠CAE（均为旋转角）；
• 夹该角的两边成比例（比值为1）且夹角相等；
• ⇒ △ABD ∽ △ACE（SAS相似准则）。

这是一种非常典型的“共角共边型相似”，广泛应用于旋转背景下的比例推导。

情况三：重心+180°旋转 → 中心对称结构

G为△ABC重心，将△AGB绕G旋转180°得△DGC，求证：AD ∥ BC。

这类题宜采用坐标法处理：

• 设A(0,3)，B(-2,0)，C(2,0)，则G = ((0−2+2)/3, (3+0+0)/3) = (0,1)；
• 旋转180° ⇒ D满足 $\vec{GD} = -\vec{GA}$ ⇒ D = 2G − A = (0,2) − (0,3) = (0,-1)；
• 则AD从A(0,3)到D(0,-1)，为竖直线段；
• BC从B(-2,0)到C(2,0)，为水平线段 ⇒ AD ⊥ BC，而非平行。

咦？题目要求证平行？

这里暴露了一个常见误区：旋转180°并不必然导致平行，需具体分析向量方向。

事实上，若要使AD ∥ BC，必须满足向量AD与BC同向或反向。本例中两者垂直，故原命题不成立。可能是题设条件有误，或需要补充其他约束。

这也说明，在处理旋转与相似问题时，不能仅凭直觉判断，必须借助向量、坐标或严格几何推理进行验证。

翻折与相似三角形：轴对称中的比例艺术

翻折，即轴对称变换，其核心特征是：折痕是对称点连线的垂直平分线，且翻折前后图形全等。

正因为这种强对称性，翻折常常带来意想不到的角度相等、边长相等等价关系，也为相似三角形的诞生提供了温床。

模型一：“双平等腰” + 勾股定理

矩形ABCD中，AD = 2，BC = 5，E在AB上，将△BCE沿CE翻折，使B落于D点，求BE。

设BE = x，则ED = x（翻折对应边相等）；

又B与D关于CE对称 ⇒ CE为BD的垂直平分线；

取BD中点F，则CF ⊥ BD。

建系求解更直观：

• 设A(0,0)，B(5,0)，C(5,2)，D(0,2)，E(x,0)；
• B(5,0) → D(0,2)，中点F(2.5,1)应在CE上；
• CE过C(5,2)和E(x,0)，斜率为 $k_{CE} = \frac{0-2}{x-5} = \frac{-2}{x-5}$；
• 向量CF = F − C = (−2.5, −1)，应与CE方向一致；
• 计算得x = 4 ⇒ BE = 4。

此题再次印证：坐标法是处理翻折类综合题的利器。

模型二：分类讨论与8字型相似

有些翻折题存在多种落点可能性，必须分类讨论。

例如：

将Rt△ABC沿斜边上的高CH翻折，点C落至C′，判断△ACC′与△BCC′是否相似。

需分情况：

1. 若C′在△ABC内部，观察∠ACC′与∠BCC′是否互补；
2. 若C′在外侧，可能出现∠ACC′ = ∠BC′C等关系；
3. 寻找是否有“8字型”或“X型”结构支持相似判定。

通常情况下，只有当原三角形为等腰直角三角形时，才可能满足相似条件。

模型三：“一线三直角”的反复登场

无论是旋转还是翻折，“一线三直角”模型都频频现身。

以梯形翻折为例：

梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90°，AD = 2，BC = 5，E在AB上，将△BCE沿CE翻折，B与D重合，求BE。

此前已解，关键在于识别：

• ∠B = 90°，翻折后∠CDE = 90°；
• AD∥BC ⇒ ∠ADC + ∠DCB = 180°；
• 若CE ⊥ BD，则三点处各有一个直角分布在同一直线附近，构成“一线三垂直”雏形。

一旦识别成功，即可通过作垂线、构造矩形等方式打开突破口。

模型四：三线合一与中线翻折

Rt△ABC中，D为斜边AB中点，AC = 4，BC = 2，将△ACD沿CD折叠，A落于E，求AE长度。

思路如下：

• D为中点 ⇒ CD = $\frac{1}{2}\sqrt{AC^2 + BC^2} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$；
• 折叠 ⇒ CA = CE = 4，DA = DE；
• AE被CD垂直平分，设交点为F；
• 在Rt△ACF中，AF² = AC² − CF²；
• 需先求CF，可通过面积法或坐标法完成；
• 最终解得：
  $$
  AE = \frac{8\sqrt{5}}{5}
  $$

这道题融合了中线、翻折、勾股、垂直平分等多个知识点，综合性极强。

模型五：弧形折叠与切点约束

扇形AOB，半径6，圆心角90°，E在OA上，OE = 5，F在弧AB上，沿EF对折，使弧A’F切OB于G，求O到EF的距离。

这是典型的高阶题，涉及：

• 圆弧翻折后仍为圆弧；
• 切点G ⇒ OG ⊥ A’G；
• A与A′关于EF对称 ⇒ EF为AA′的垂直平分线；
• O到EF的距离即为点到直线距离。

可设EF所在直线方程，利用对称点公式列出约束条件，联立求解。也可构造辅助圆或利用相似三角形间接求高。

这类题虽难度大，但体现了中考趋势：从平面图形走向空间感知，从单一知识走向综合建模。

几何模型速览：掌握这些，考场少走弯路

图形的旋转与翻折，不只是动作本身，更是一种思维方式——它教会我们在变化中寻找不变，在运动中把握结构。

面对一道复杂的压轴题，不妨问自己几个问题：

• 是否存在旋转中心或对称轴？
• 有没有等腰、直角、中点、角平分线等标志性元素？
• 能否通过旋转或翻折还原出隐藏的全等或相似？
• 是否可以引入坐标或参数，将几何问题代数化？

唯有将“形”的直观与“数”的严谨深度融合，才能真正驾驭千变万化的几何世界。

建议同学们平时训练时注重“条件翻译”能力——把每一句题干转化为图形语言或符号表达，并主动匹配已有模型。久而久之，那些曾经令人望而生畏的压轴题，也会变得有迹可循。