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动态规划：精确求解、近似方法与实际应用

1. 确定性动态规划

在确定性动态规划中，我们的目标是为给定的初始状态 $x_0$ 构建最优控制序列 ${u^_0, \ldots, u^_{N - 1}}$ 以及相应的状态轨迹 ${x^_1, \ldots, x^_N}$。该算法会解决每一个尾部子问题，即从中间状态到时间范围结束时累加成本的最小化问题。

当我们得到函数 $J^_0, \ldots, J^N$ 后，可以使用以下步骤构建最优控制序列：
1. 首先，设置 $u^0 \in \arg \min{u_0 \in U_0(x_0)} [g_0(x_0, u_0) + J^_1(f_0(x_0, u_0))]$，并计算 $x^_1 = f_0(x_0, u^_0)$。
2. 然后，对于 $k = 1, 2, \ldots, N - 1$，依次设置 $u^k \in \arg \min{u_k \in U_k(x^_k)} [g_k(x^_k, u_k) + J^{k + 1}(f_k(x^_k, u_k))]$，并计算 $x^_{k + 1} = f_k(x^_k, u^_k)$。

这个算法也可用于找到任何尾部子问题的最优控制序列。

然而，精确计算 $J^_k(x_k)$ 对于所有的 $x_k$ 和 $k$ 来说，在实际应用中往往非常耗