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非线性系统与平面动力系统的深入剖析

1. 非线性系统相关练习

在非线性系统的研究中，有一系列相关的练习可以帮助我们更好地理解其复杂性。以下是部分练习内容：
-问题 1.1：逻辑斯蒂映射的替代形式
- 需求：找到将逻辑斯蒂映射转化为 (Y_{k + 1} = A - y_{k}) 形式所需的变换，确定从 (x) 到 (y) 的变换以及 (h) 和 (A) 之间的关系。
-问题 1.2：计算 (\sqrt{2})
- 需求：朋友提出通过迭代映射 (X_{k + 1} = Z + \frac{1}{X_{k}}) 来计算 (\sqrt{2})，需要尝试该算法，用随机初始条件进行验证，看是否能得到 (\sqrt{2}) 的两个值。
-问题 1.3：线性系统极限环存在条件
- 需求：对于形如 (1.1) 的线性系统，推导极限环存在的条件。设 (x_0 \in R) 是位于极限环上的点，周期为 (T)，推导 (x_0) 应满足的方程，以及用 (A) 的特征值表示的极限环存在的充要条件。若条件满足，证明存在连续的 (x_0) 满足所推导方程，并刻画该集合（子空间）。
-问题 1.4：单峰函数的两步演化动力系统
- 需求：考虑单峰函数 (1.3)，推导其两步演化的动力系统。通过寻找 (f^2) 的平衡点，确定周期 2 极限环存在的参数 (h) 的最小值。注意 (f) 的平衡点也是 (f^2) 的平衡点，即寻找方程 (f^2(x) = x) 有 4 个解时的 (h) 值，明确平衡点的值。周期 2 极限环出现的