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循环编码：从里德 - 所罗门码到伪噪声序列

1. 循环GRS码与里德 - 所罗门码

在有限域 (F) 中，设 (\alpha) 是 (n) 次单位原根。定义 (\alpha^{(a)} = ((\alpha^0)^a, \cdots, (\alpha^j)^a, \cdots, (\alpha^{n - 1})^a) = ((\alpha^a)^0, \cdots, (\alpha^a)^j, \cdots, (\alpha^a)^{n - 1}))。特别地，(\alpha = \alpha^{(1)}) 且 (\alpha^{(0)}) 是全 1 向量。

对 (\tilde{\alpha}^{(a)} = ((\alpha^{n - 1})^a, (\alpha^0)^a, \cdots, (\alpha^j)^a, \cdots, (\alpha^{n - 2})^a)) 进行分析，可得 (\tilde{\alpha}^{(a)} = \alpha^{-a}\alpha^{(a)})，这表明 (\alpha^{(a)}) 的循环移位总是 (\alpha^{(a)}) 的标量倍数。

命题 8.2.1：(GRS_{n,k}(\alpha, \alpha^{(a)})) 是循环码。
证明过程如下：对于 (0 \leq i \leq k - 1) 和 (0 \leq j \leq n - 1)，规范生成矩阵的 ((i, j)) 元素为 (v_j\alpha_j^i = (\alpha^j)^a(\alpha^j)^i = \alpha^{ja}\alpha^{ji} = (\alpha^j)^{a + i})。所以规范生成矩阵的行是