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代数基础：从域到矩阵的全面解析

1. 域的基本概念

在编码理论中，为字母表赋予一定的数学结构是很有优势的。我们熟悉比特层面上集合 ${0, 1}$ 中的布尔加法（异或）和乘法（与），其运算规则如下表所示：
| 加法（异或） | 0 | 1 |
| — | — | — |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

我们研究的对象，如集合 ${0, 1}$ 及其上述运算，被称为域。域是一个集合 $F$，配备加法 $+$ 和乘法 $\cdot$，满足以下七个算术公理：
1.封闭性：对于 $F$ 中的任意 $a$ 和 $b$，$a + b$ 和 $a \cdot b$ 都是 $F$ 中的确定元素。
2.交换性：对于 $F$ 中的任意 $a$ 和 $b$，$a + b = b + a$ 且 $a \cdot b = b \cdot a$。
3.结合性：对于 $F$ 中的任意 $a$、$b$ 和 $c$，$(a +