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控制中的外微分系统：标准型与应用

1. 引言

在控制理论中，外微分系统是一个重要的研究领域，尤其是Pfaffian系统。Pfaffian系统在描述系统的约束条件和动力学方面具有重要作用。本文将深入探讨Pfaffian系统的一些重要标准型，包括Pfaff标准型、Engel标准型和Goursat标准型，并通过具体例子展示它们在控制问题中的应用，如单轮车和n - 拖车系统。

2. Pfaffian系统的基本性质

如果Pfaffian系统包含一个可积子系统 (I(I)\neq0)，由1 - 形式 (dh^1,\cdots,dh^r) 张成，那么该系统的积分曲线必须满足 (dh^i = 0)，即 (h^i=k_i)（(1\leq i\leq r)），这意味着系统的轨迹必须位于流形 (M = {x:h^i(x)=k_i,1\leq i\leq r}) 上。特别地，如果 (I^{r}\neq0)，则只有当初始和最终配置满足 (h^i(x_0)=h^i(x_1))（(1\leq i\leq r)）时，才能找到连接配置 (x(0)=x_0) 到 (x(1)=x_1) 的积分曲线。

3. 标准型的研究

3.1 单方程的Goursat标准型

对于余维数为 (n - 1) 的Pfaffian系统，即由单个方程 (\alpha = 0) 组成的系统（其中 (\alpha) 是流形 (M) 上的1 - 形式），在点 (p\in M) 的某个坐标图 ((U,x)) 中，方程可表示为 (\sum_{i = 1}^{n}a_i(x)dx^i = 0)。为了理解该方程的积分流形，我们尝试通过坐标变换将 (\alpha) 表示为标准型。