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线性化设计实例：球与梁系统控制解析

1. 引言

在控制理论的实际应用中，输入 - 输出线性化理论是一种强大的工具。然而，在许多实际场景里，直接应用该理论并非易事。本文选取了两个具有挑战性的例子来探讨输入 - 输出线性化理论的应用。选择非直接应用案例的原因主要有两个：
1. 展示在应用理论时，往往需要进行一些实际的“微调”，以使理论能够有效应用。
2. 引入一些重要的新思想，包括对不具有相对度的非正则系统或非线性系统的控制，以及对“轻微非最小相位系统”的控制，因为高速非最小相位动态的存在使得传统的输入 - 输出线性化方法无法应用。

第一个研究的例子是球与梁系统，它是一个不具有相对度的系统。接下来，我们将详细探讨如何对该系统进行近似控制。

2. 球与梁系统示例

2.1 系统描述

球与梁系统是本科控制实验室中常见的一个实验。在这个装置中，梁是对称的，通过在旋转点（中心）施加扭矩使其在垂直平面内旋转。与通常让球在梁上滚动不同，这里限制球沿着梁做无摩擦滑动（就像珠子沿着电线滑动一样）。这样的设计允许梁进行完整的旋转和任意的角加速度，而球不会与梁失去接触。我们的目标是控制球在梁上的位置，并且希望球能够跟踪任意轨迹。

2.2 动力学分析

考虑球与梁系统，设梁的转动惯量为 $J$，球的质量为 $M$，重力加速度为 $G$。选择梁的角度 $\theta$ 和球的位置 $r$ 作为系统的广义坐标。根据拉格朗日方程，系统的运动方程为：
$\dot{r} = r + G\sin\theta - r\dot{\theta}^2$
$\ddot{r} = (Mr^2 + J)\