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编码的重量与距离枚举相关理论

1. 引言

在编码理论中，重量和距离枚举是非常重要的概念。例如，长度为 8 的扩展二进制汉明码对应的重量枚举式为 1 + 14z⁴ + z⁸。对于这样的例子，虽然可以用组合方法处理，但线性规划方法具有更好的扩展性，对于长度为十几的编码，线性规划方法处理起来更加容易，而组合方法可能需要大量的逐例分析。

2. 基本概念与定义

2.1 编码相关定义

• 字母表与编码：考虑定义在有限字母表 F 上的编码，F 是具有乘法单位元 1 的交换环，主要例子有域 Fₛ 和模整数环 Zₛ = Z (mod s)。任何有限字母表上的编码都可以看作是 Zₛ 上的编码。
• F - 线性码：长度为 n 的 F - 线性码 C 是 Fⁿ 的非空子集，且对加法和标量乘法封闭。C 的对偶码 C⊥ 定义为 C⊥ = { v ∈ Fⁿ | v · c = 0, 对于所有 c ∈ C }，即使 C 不是线性码，C⊥ 也是线性的。

2.2 线性特征

• 线性特征的定义：(F, +) 的线性特征 χ 是一个映射 χ: F → C*，满足 χ(a + b) = χ(a)χ(b) 对于所有 a, b ∈ F。对于有限 F，χ 的像在单位根中，且 χ(0) = 1，χ(−a) = χ(a)⁻¹ = χ(a)。一个基本例子是平凡特征 1F (a) = 1，对于所有 a ∈ F。
• 相关符号定义：对