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• 特征值、特征向量是定义在方阵基础上的

• 求特征值、特征向量的方法：（ n 阶矩阵A）

  • 解特征方程、齐次方程组

    ① 先由 \(|\lambda_iE-A|=0\) 求矩阵 A 的 n 个特征值 \(\lambda_i\)（可能有重根）；

    ② 再由 \((\lambda_iE-A)x=0\) 求基础解系，即矩阵 A 属于 \(\lambda_i\) 的线性无关的特征向量（注意简化求解的方法）

    （注意①和②的减法顺序应保持一致，否则错误）

  • 利用定义推理：\(A\alpha=\lambda\alpha\)

• 不同特征值 \(\lambda_i\) 所对应的特征向量（组）之间线性无关

  • 一个特征值至少对应一个非零的特征向量

  • 当特征值 \(\lambda_i\) 是 \(t\) 重根时，可能对应 \(\leq t\) 个线性无关的特征值

    （可推得 n 阶矩阵最多有 n 个线性无关的特征向量）

  • 当矩阵可相似对角化时：

    • 若 n 阶矩阵有 n 个不同的特征值（没有相同的特征值） \(\Longrightarrow\) n 阶矩阵 A 可以相似对角化（充分条件）
    • n 阶矩阵 A 可以相似对角化 \(\Longleftrightarrow\) n 阶方阵有 n 个线性无关的特征向量
    • n 阶矩阵 A 可以相似对角化 \(\Longleftrightarrow\) A 的每个特征值的重根数与对应的特征向量线性无关数一致（有相同特征值的情况）
    • n 阶矩阵 A 可以相似对角化 \(\Longleftrightarrow\) 秩 \(r(\lambda_iE-A)==n-t\) （即 t 是 \((\lambda_iE-A)x=0\) 基础解系的秩）
    • n 阶实对称可相似对角化矩阵对应 n 重特征根的情况是存在的，此时 \(\lambda E-A\) 的秩为 0
    • 注意： 即使两个矩阵特征值情况相同也不能证明相似，只有两个矩阵在特征值相同的基础上，都能相似对角化时才成立 （可相似对角化的条件如上）

  • 实对称矩阵一定能相似对角化（即必有上述相关性质）

    • 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量间相互正交
    • 实对称矩阵 A 必有正交矩阵 Q，使 \(Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda\)
      • 实对称矩阵一定能找到都相互正交的特征向量（对同一特征值的特征向量正交化后仍然是矩阵的特征向量）
      • 非实对称矩阵不一定能找到都相互正交的特征向量（无法保证不同特征值的特征向量正交）
    • n 阶实对称矩阵对应 n 重特征根的情况是存在的，此时 \(\lambda E-A\) 的秩为 0
    • 实对称矩阵的秩可以通过非零特征值的个数判断（因为实对称矩阵有相似于对角矩阵）

• 设 A 是 n 阶矩阵，\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是矩阵 A 的特征值：

  • 结论1：\(\sum\lambda_i=\sum a_{ii}=tr(A)\) （即 \(\lambda\) 的和 = A 的对角元素的和（矩阵的迹））

  • 结论2：\(|A|=\prod\lambda_i\)（即行列式的值 |A| = 特征值的积）（即若 \(\prod\lambda_i\neq0\)，则矩阵 A 可逆）

    • 技巧： 若 |A|=0，则说明 A 特征值中必然有 0

  • 结论3： 矩阵 A 属于 \(\lambda_i\) 的特征向量的线性组合仍然是属于 \(\lambda_i\) 的特征向量（零向量除外）

    • \(A\alpha_1=\lambda_i\alpha_1,\;A\alpha_2=\lambda_i\alpha_2\)，若 \(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\neq0\)，则有：

    \(A(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)=k_1A\alpha_1+k_2A\alpha_2=k_1(\lambda_i\alpha_1)+k_2(\lambda_i\alpha_2)=\lambda_i(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)\)

    • \(kA\alpha=k\lambda_i\alpha\)

    • （注意范围，\(\lambda_i\) 特征向量的线性组合不一定是 \(\lambda_j\) 的特征向量，当然，重根的特征值是共享一组特征向量的）

  • 结论4： 设 \(A\alpha=\lambda\alpha\)，则 \((A+kE)\alpha=A\alpha+kE\alpha=\lambda\alpha+k\alpha=(\lambda+k)\alpha\)，即 \((A+kE)\) 的特征值是 \(\lambda+k\)

  • 结论5： 设 \(A\alpha=\lambda\alpha\)，则 \(\lambda^k\) 是 \(A^k\) 的特征值

  • 结论6： 若 \(\lambda_i\) 是矩阵 A 的 \(t\) 重特征值，则 \(\lambda_i\) 对应的所有特征向量线性无关的个数 \(\leq t\)

    • （即对应的特征向量组的秩 \(\leq t\)）

  • 逆矩阵的特征值： \(A^{-1}\alpha=\dfrac{1}{\lambda}\alpha\)

  • 伴随矩阵的特征值：\(A^*\alpha=\dfrac{|A|}{\lambda}\alpha=\dfrac{\prod\lambda_i}{\lambda}\alpha\)

  • 转置矩阵的特征值：即 A 的特征值

  • 对角矩阵、上/下三角矩阵的特征值：实际上就是主对角线元素（因为对应的特征多项式就是主对角线的乘积）

• 若两个矩阵相似，则两个矩阵的：① 秩相同、② 特征值相同（特征多项式相同）、③ 行列式相同、④ 矩阵的迹相同

  • （相似矩阵的内涵：同一个线性变换，在不同坐标系（不同基）下的矩阵表示，可逆矩阵 P 即及变换矩阵）
  • 相同的行列式（变换的体积缩放倍数相同）
  • 相同的特征值（变换的本质伸缩比例不变）
  • 相同的迹（某种意义上的“总缩放量”）
  • 相同的秩（解空间结构相同）

• 等价与相似

  • 等价矩阵只能说明秩相同，而秩相同只是相似的必要条件