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深度学习中的正则化方法详解

1. 复杂度概念

复杂度是一个源于信息理论的概念。在深度学习中，非零权重的数量会随着训练轮数、优化算法等因素发生显著变化，这使得复杂度这个直观概念还依赖于模型的训练时长。需要注意的是，网络复杂度只是一个直观层面的术语，理论上很难精确定义，其涉及的内容非常复杂。

2. ℓp 范数

在研究 ℓ1 和 ℓ2 正则化之前，需要先了解 ℓp 范数的概念。对于一个具有 xi 分量的向量 x，其 ℓp 范数定义为：
[
|\mathbf{x}|p = \left(\sum{i \in \mathbb{R}} |x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}
]
这里的求和是对向量 x 的所有分量进行的。下面我们先从最具代表性的 ℓ2 范数开始。

3. ℓ2 正则化

ℓ2 正则化是一种常见的正则化方法，其核心是在损失函数中添加一个额外的项，目的是有效降低网络对复杂数据集的适应能力，从而防止过拟合。

3.1 ℓ2 正则化的理论

在普通回归问题中，损失函数通常是均方误差（MSE），定义如下：
[
J(\mathbf{w}) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - \hat{y}_i)^2
]
其中，$y_i$ 是实际测量的目标变量，$\hat{y}_i$ 是预测值，$\mathbf{w}$ 是网络所有权重（包括偏置）组成的向量，m 是观测样本的数量。

现在，我们定义一个新的损失函数 $\tilde{J}(\mathbf