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大规模PageRank实现中的关键问题剖析

1. PageRank敏感性定理

PageRank向量在搜索引擎的网页排序中起着至关重要的作用，其敏感性定理更是理解PageRank稳定性的关键。

1.1 PageRank向量的表达式

PageRank向量 $\pi^T(\alpha)$ 可以表示为：
$\pi^T(\alpha) = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} D_i(\alpha)} [D_1(\alpha), D_2(\alpha), \ldots, D_n(\alpha)]$
其中，$D_i(\alpha)$ 是 $I - G(\alpha)$ 中 $n - 1$ 阶的第 $i$ 个主子式行列式。由于每个主子式 $D_i(\alpha) > 0$ 是 $I - G(\alpha)$ 中元素乘积的和，所以 $\pi^T(\alpha)$ 的每个分量在区间 $(0, 1)$ 上是关于 $\alpha$ 的可微函数。

证明过程如下：
为了方便，设 $G = G(\alpha)$，$\pi^T(\alpha) = \pi^T$，$D_i = D_i(\alpha)$，并令 $A = I - G$。若 $adj(A)$ 表示余子式矩阵的转置（通常称为伴随矩阵），则有 $A[adj(A)] = 0 = [adj(A)]A$。根据Perron - Frobenius定理，$rank(A) = n - 1$，进而 $rank(adj(A)) = 1$。而且，Perron - Frobenius定理保证了 $[adj(A)]$ 的每一列都是 $e$ 的倍数，所以 $[adj(A)] = ew^T$ ，其中 $w$ 是