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模式分类与线性分类器详解

在模式分类领域，一些常见的分类方法存在着特定的问题，为了更好地解决这些问题，线性分类器应运而生。下面将详细介绍相关内容。

传统方法的问题

在模式分类中，某些方法存在两个重要问题：
-计算效率问题：要确定一个查询向量的类别，需要分别计算它与训练集中所有样本的距离。在处理大规模数据集时，如果不采取如划分输入空间等解决方案，这会非常耗费时间和内存。
-维度灾难问题：在高维空间中，欧几里得距离变得非常相似。如果K近邻（KNN）算法的输入是高维向量，那么最近向量和最远向量之间的差异可能非常小，这可能导致对查询向量的错误分类。

为了缓解这些问题，我们尝试寻找一个判别函数来直接对决策边界进行建模。判别函数可以是一个非线性函数，但线性分类器是一种简单且常用的建模决策边界的方法。

线性分类器基础

假设存在一个二分类问题，其中d维输入向量$x \in R^d$的标签只能是1或 -1。例如，图像中的交通标志检测可以被表述为一个二分类问题。给定一个图像块，检测的目标是判断该图像是否代表一个交通标志。在这种情况下，交通标志和非交通标志的图像可能分别用标签1和 -1 表示。

通过计算以下线性关系对向量进行分类：
[f(x) = w_1x_1 + \cdots + w_ix_i + \cdots + w_dx_d + b]
其中，$w_i$ 是与 $x_i$ 相关的可训练参数，$b$ 是另一个可训练参数，称为截距或偏置。上述方程在d维欧几里得空间中表示一个超平面。权重集合 ${ \forall_{i