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Z4 上的码与二次剩余码详解

1. Z4 上的码相关基础

在研究 Z4 上的码时，对于多项式 (e(x)) 和 (f(x))，若 (e(x) = b^2(x))，则在 (R_n) 中，(\mu(e(x)) = \mu(b^2(x)) \in \langle\mu( f (x))\rangle)。由此可得 (e(x) = u(x) f (x) + 2v(x))（在 (Z_4[x]) 中），对其平方有 (e^2(x) = u^2(x) f^2(x))，这表明 (e^2(x) \in \langle f (x)\rangle) 在 (R_n) 中。因为 (e(x)) 是 (R_n) 中的幂等元，所以 (e(x) \in \langle f (x)\rangle) 或者 (\langle e(x)\rangle \subseteq \langle f (x)\rangle)，进而得出 (\langle e(x)\rangle = \langle f (x)\rangle)，并且 (e(x) = b^2(x)) 是 (\langle f (x)\rangle) 的生成幂等元。

以 (x^7 - 1) 在 (Z_4[x]) 上的因式分解为例，(x^7 - 1 = g_1(x)g_2(x)g_3(x))，其中 (g_1(x) = x - 1)，(g_2(x) = x^3 + 2x^2 + x - 1)，(g_3(x) = x^3 - x^2 + 2x - 1)。我们要找到 (\langle\hat{g}i(x)\rangle)（(\hat{g}_i(x) = \sum{j\neq i} g_j(x))）在 (R_7) 中的生成幂等元。
- 首先，(\mu(\hat{g}_1(x