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代数几何编码：概念、经典码及构造

1. 代数几何编码概述

自1977年V. D. Goppa发现利用代数几何的编码以来，对这类编码的研究大量涌现。1982年，Tsfasman、Vl˘adut¸和Zink证明了某些代数几何码超越了渐近吉尔伯特 - 瓦尔沙莫夫界，这让人们意识到了其重要性，因为许多编码理论家曾认为这是无法实现的。代数几何码，现在常被称为几何戈帕码，最初是利用代数几何中的许多广泛而深刻的结果发展起来的。这些码可以通过代数曲线来定义，也可以利用代数函数域来定义，因为“良好”的代数曲线和这些函数域之间存在一一对应关系。

2. 仿射空间、射影空间与齐次化

代数几何码是相对于仿射空间或射影空间中的曲线来定义的，下面介绍这些概念。
-仿射空间：设F是一个域（可能是无限域），n维仿射空间$A^n(F)$定义为普通的n维向量空间$F^n$，其中的点为$(x_1, x_2, …, x_n)$，且$x_i \in F$。
-射影空间：定义n维射影空间$P^n(F)$相对复杂。首先，设$V_n$是$F^{n + 1}$中的非零向量。若$x = (x_1, x_2, …, x_{n + 1})$和$x’ = (x_1’, x_2’, …, x_{n + 1}’)$在$V_n$中，当存在非零的$\lambda \in F$，使得$x_i’ = \lambda x_i$（$1 \leq i \leq n + 1$）时，称$x$和$x’$等价，记为$x \sim x’$。这种等价关系的等价类记为$(x_1 : x_2 : … : x_{n + 1})$，由$(x_1, x_2, …, x_{n + 1}