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深入探究Kerdock码与Preparata码

1. Kerdock码相关基础概念

在编码理论中，Kerdock码是一类重要的码。首先，我们定义$\nu_2$为$GR(4r)$的Frobenius自同构，$TR_r$为相对迹映射。这里有几个关于它们性质的练习：
-练习753：
1. 证明$\nu_2^r$是恒等自同构。
2. 证明$\nu_2(TR_r(\alpha)) = TR_r(\alpha)$，并说明为什么这表明$TR_r(\alpha)$是$\mathbb{Z}_4$中的元素。
3. 证明对于所有$\alpha$和$\beta$在$GR(4r)$中，有$TR_r(\alpha + \beta) = TR_r(\alpha) + TR_r(\beta)$。
4. 证明对于所有$a \in \mathbb{Z}_4$和$\alpha \in GR(4r)$，有$TR_r(a\alpha) = aTR_r(\alpha)$。

2. Kerdock码的定义

我们将长度为$2^{r + 1}$的二进制Kerdock码定义为某个长度为$n = 2^r - 1$的循环$\mathbb{Z}_4$ - 线性码的扩展码的Gray图像。具体步骤如下：
1. 设$H(x)$是一个$r$次的本原基本不可约多项式。
2. 令$f(x)$是$\frac{x^n - 1}{(x - 1)H(x)}$的互反多项式，$f(x)$是$x^n - 1$的一个因子。
3. 定义$K(r + 1)$为$\mathbb{Z}_4$上由$f(x)$生成的长度为$2^r - 1$的循环码，根据