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代数几何编码与代数曲线相关知识

1. 代数几何码的另一种表述

Goppa码可以有如下的另一种表述。设 $R$ 是所有系数在 $F_{q^t}$ 中的有理函数 $f(x)=\frac{a(x)}{b(x)}$ 构成的向量空间，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 互质，并且满足两个条件：
- 首先，$a(x)$ 的零点包含 $G(x)$ 的零点，且重数至少与 $G(x)$ 中相同；
- 其次，$b(x)$ 唯一可能的零点，即 $f(x)$ 的极点，来自 $\gamma_0, \cdots, \gamma_{n - 1}$，且每个极点的重数至多为 1。

任何有理函数 $f(x)$ 在 $\gamma_i$ 处都有洛朗级数展开。$R$ 中的有理函数 $f(x)$ 在 $\gamma_i$ 处的洛朗级数展开为：
[
\sum_{j = -1}^{\infty} f_j(x - \gamma_i)^j
]
当 $f(x)$ 在 $\gamma_i$ 处有极点时，$f_{-1} \neq 0$；否则，$f_{-1} = 0$。$f(x)$ 在 $\gamma_i$ 处的留数，记为 $Res_{\gamma_i} f$，就是系数 $f_{-1}$。令
[
C = {(Res_{\gamma_0} f, Res_{\gamma_1} f, \cdots, Res_{\gamma_{n - 1}} f) | f(x) \in R}
]
练习 771 表明 $\mathcal{L}(L, G)$ 是子域子码 $C|_{F_q}$。

练习 771

证明 $\mathcal{L}(