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动力学系统响应分析：从单自由度到多自由度

1. 单自由度系统

单自由度系统在动力学分析中是基础且重要的模型，对于其稳态响应的求解，复变量方法是一种有效的途径。

1.1 复变量方法求解稳态响应

对于谐波激励下的单自由度系统，其稳态响应可通过复变量方法确定。已知(A_a \cos(\omega t))是(A_a e^{i\omega t})的实部，所以稳态响应是以下复变量问题解的实部：
(\frac{dw_c}{dt} + aw_c = A_a e^{i\omega t}) (5.13)
该方程的稳态解（特解）形式为：
(w_c(t) = W_c(i\omega) e^{i\omega t}) (5.14)
将式(5.14)代入式(5.13)并求解，可得：
(W_c(i\omega) = \frac{A_a}{a + i\omega} = \frac{A}{1 + i(\omega/a)}) (5.15)
令(W_c(i\omega))表示为：
(W_c(i\omega) = \frac{A}{\sqrt{1 + (\omega/a)^2}} e^{-i\varphi}) (5.16)
其中(\varphi = \tan^{-1}(\frac{\omega}{a}))。
则复解可重写为：
(w_c(t) = W(\omega) e^{i(\omega t - \varphi)})，(W(\omega) = \frac{A}{\sqrt{1 + (\omega/a)^2}}) (5.17)
原物理问题的稳态响应就是上述复解的实部，即：
(w(t) = W(\ome