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梁的弯曲振动与虚拟被动控制器

1. 梁的弯曲振动基础

1.1 分布参数系统

弹性细杆可视为无限个弹簧和质量串联的系统，要确定杆上每一点的位置，需要无限个位移坐标，这种系统具有无限个自由度，因其质量和刚度是分布的，所以也被称为分布参数系统。

1.2 梁的自由振动方程

对于柔性梁，设 (w) 为位置 (x) 处的弯曲位移，(\rho) 为单位长度的质量密度，(EI) 为梁的抗弯刚度。当 (EI) 不随 (x) 变化时，梁的自由振动方程为：
(EI\frac{\partial^4w}{\partial x^4}=-\rho\frac{\partial^2w}{\partial t^2})

假设方程的解在时间和空间上是可分离的，即 (w(x,t)=\varphi(x)q(t))，代入自由振动方程可得：
(\frac{EI}{\rho\varphi}\frac{d^4\varphi}{dx^4}=-\frac{1}{q}\frac{d^2q}{dt^2}=\omega^2)

由此产生两个微分方程：
(\frac{d^4\varphi}{dx^4}-\beta^4\varphi = 0)，其中 (\beta^4 = \frac{\omega^2\rho}{EI})
(\frac{d^2q}{dt^2}+\omega^2q = 0)

1.3 频率方程

考虑一端固定一端自由的梁，在固定端 (x = 0) 处，弯曲位移和斜率为零；在自由端 (x = \ell) 处，外部弯矩和剪力为零。将这些边界条件代入 (\varphi(x)=c_1\sin\be