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在数控加工、机器人路径跟踪或动画插值等实时系统中，B样条曲线的插补（interpolation）是指：以固定时间周期 T（如 1 ms）生成一系列参数 uk​，使得对应的曲线点 C(uk​) 满足给定的速度/加速度约束，并保证轨迹平滑。

由于 B 样条曲线的参数 u 与弧长之间没有解析关系，不能直接用匀速映射 u=u0​+vT/L，因此需要数值方法逐周期计算 uk​。

下面系统介绍B样条曲线在各个插补周期中计算参数 u 的主流方法：

一、泰勒展开法（二阶）

参数更新公式：

uₖ₊₁ = uₖ + T·ūₖ + (T²/2)·üₖ

其中：

ūₖ = vₖ / ‖C′(uₖ)‖

üₖ = aₖ / ‖C′(uₖ)‖ − [ (C″(uₖ) · C′(uₖ)) · vₖ² ] / ‖C′(uₖ)‖⁴

符号说明：

• T：插补周期（时间步长）
• vₖ：第 k 周期的指令速率（标量）
• aₖ：切向加速度（aₖ = dv/dt）
• C′(uₖ)：B 样条曲线对参数 u 的一阶导数（向量）
• C″(uₖ)：二阶导数（向量）
• ‖·‖：向量的欧几里得范数（模长）
• · ：向量点积

二、牛顿迭代法（用于校正或初始反求）

目标：给定点 P，求 u 使 ‖C(u) − P‖ 最小。

迭代公式：

uₙₑw = u − f′(u) / f″(u)

其中：

f′(u) = (C(u) − P) · C′(u)

f″(u) = C′(u) · C′(u) + (C(u) − P) · C″(u)

收敛条件：|f′(u)| < ε 或 |uₙₑw − u| < ε

三、预查表法（离线+在线）

1. 离线阶段：

   • 对 u ∈ [u₀, uₘₐₓ] 均匀采样 N 点：uᵢ = u₀ + i·Δu
   • 计算累积弧长 sᵢ = Σⱼ₌₀ⁱ⁻¹ ‖C(uⱼ₊₁) − C(uⱼ)‖
   • 构建映射表：s → u（可存储为数组）

2. 在线插补：

   • 当前弧长：sₖ = sₖ₋₁ + v·T
   • 在表中查找 sₖ 所在区间 [sᵢ, sᵢ₊₁]
   • 线性插值得到 uₖ： uₖ = uᵢ + (uᵢ₊₁ − uᵢ) · (sₖ − sᵢ) / (sᵢ₊₁ − sᵢ)

四、自适应步长法（保证弦高误差）

若要求相邻插补点间的弦高误差≤ δ，则最大步长 Δu 满足：

δ ≥ ‖C(u+Δu) − C(u) − Δu·C′(u)‖ ≈ (Δu²/2) · ‖C″(u)‖

近似解出：

Δu ≤ √(2δ / ‖C″(u)‖)

因此，每个周期可动态调整：

uₖ₊₁ = uₖ + min(Δuₘₐₓ, √(2δ / ‖C″(uₖ)‖))