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H∞综合与不确定系统分析：理论与实践

1. H∞综合问题概述

在控制理论中，H∞综合问题旨在寻找一个控制器，使得闭环系统在满足一定性能指标下具有良好的鲁棒性。然而，该问题在降阶情况下计算复杂度较高。具体而言，当存在额外约束条件rank $\begin{bmatrix} X & I \ I & Y \end{bmatrix} \leq n + n_K$ 时，若 $n_K < n$，此约束条件非凸，这表明一般情况下降阶H∞问题的计算难度远大于全阶问题。不过，在某些特定情形下，这些明确条件仍可发挥作用。

2. 控制器重构步骤

当满足特定定理条件时，可按以下步骤进行控制器重构：
1.确定矩阵 $X$ 和 $Y$：找到满足定理条件的矩阵 $X$ 和 $Y$。
2.构造矩阵 $X_L$：依据引理，存在矩阵 $X_L \in R^{n\times n_K}$，满足 $X_L = \begin{bmatrix} X &? &? &? \end{bmatrix}$ 和 $X_L^{-1} = \begin{bmatrix} Y &? &? &? \end{bmatrix}$。可通过寻找矩阵 $X’ \in R^{n\times n_K}$ 使得 $X - Y^{-1} = X’X’^T$ 来构造 $X_L$，即 $X_L = \begin{bmatrix} X & X’^T \ X’ & I \end{bmatrix}$。通常，阶数 $n_K$ 不大于 $n$，且可选取为 $X - Y^{-1}$ 的秩。