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严格分离证明与μ - 简单结构解析

在数学分析与矩阵理论的研究中，严格分离证明和特定结构下的定理证明是重要的研究内容。下面将详细探讨严格分离的证明过程以及μ - 简单结构相关定理的证明。

1. 严格分离证明

严格分离证明的第一步依赖于矩阵 $M$ 的时间不变性，最后一个边界则由 (B.2) 得出，因为 $\epsilon^2 = 1/n$，由此证明了 (B.3)。为证明 (B.4)，只需证明对于某个常数 $\xi$，有：
[
\left|\tilde{p} - P_{[0, \tilde{t}1]} M \tilde{q}\right| \leq \xi \sqrt{n} \quad (B.10)
]
在这种情况下，$\tilde{\Delta}$ 的收缩性可推出 (B.4)，因为：
[
\tilde{\Delta} \left(\tilde{p} - P{[0, \tilde{t}1]} M \tilde{q}\right) = \left(I - \tilde{\Delta} P{[0, \tilde{t}1]} M\right) \tilde{q}
]
我们将重点放在 (B.10) 上，该边界可分为两部分：
- 第一部分：
[
\left|P{[0, \tilde{t}1]} M \tilde{q} - \frac{1}{\sqrt{n}} \sum{i = 1}^{n} S_{ih} P_{[0,h]} M q\right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \qua