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H∞综合：从KYP引理到控制器综合

1. KYP引理

KYP引理有多种形式，它建立了频域不等式和状态空间条件之间的等价关系，这些条件可以用Riccati方程或线性矩阵不等式（LMI）来表示。下面给出的形式将H∞范数条件转化为LMI，这对于实现控制器综合的目标非常有帮助，同时也是对传递函数进行有限维分析的重要测试。

引理1：假设$\hat{M}(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$，则以下条件等价：
- (i) 矩阵$A$是Hurwitz矩阵，且$|\hat{M}|_{\infty} < 1$；
- (ii) 存在矩阵$X > 0$，使得
[
\begin{bmatrix}
C^& D^
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
C & D
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
A^X + XA & XB \
B^X & -I
\end{bmatrix}
< 0
]

条件(ii)显然是一个LMI，它为我们评估传递函数的H∞范数提供了一种非常方便的方法。

证明思路：
-(ii)⇒(i)：从不等式的左上角块可知$A^X + XA + C^C < 0$，因为$X > 0$，所以$A$必须是