10.1 二重积分
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二重积分：\(\iint_Df(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\)
- \(f(x,y)\) 叫被积函数，\(f(x,y)d\sigma\) 叫被积表达式，\(d\sigma\) 叫面积元素，\(x,y\) 叫积分变量，\(D\) 叫积分区域，\(\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\) 叫积分和
- 对闭区域 \(D\) 的划分是任意的，若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网划分，那么除边界的区域外其余均为矩形闭区域，则面积元素 \(d\sigma\) 可表示为 \(dxdy\)，二重积分记为：\(\iint_Df(x,y)dxdy\)
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二重积分的几何意义： 即体积（有正负，类似定积分）
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性质1： \(\alpha,\beta\) 为常数，则：\(\iint_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d\sigma=\alpha\iint_Df(x,y)d\sigma+\beta\iint_Dg(x,y)d\sigma\)
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性质2： 若闭区域 \(D\) 被分为有限个部分闭区域，则在区域 \(D\) 上的二重积分等于在各部分闭区域上二重积分的和（若分为 \(D_1,D_2\) 两个闭区域，则 \(\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma\) ）
- 当积分区域 \(D\) 可以分为两个部分，其中 \(D_{\text{大}}\) 中含有 \(D_{\text{小}}\) 的整片区域时，则有 \(\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_{D_{\text{大}}}f(x,y)d\sigma-\iint_{D_{\text{小}}}f(x,y)d\sigma\)
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性质3： 若在 \(D\) 上，\(f(x,y)=1\)，\(\sigma\) 是 \(D\) 的面积，则：\(\sigma=\iint_D1\cdot d\sigma=\iint_Dd\sigma\)
- \(A\) 是常数，\(\sigma\) 是 \(D\) 的面积则， \(\iint_DAd\sigma=A\sigma\)
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性质4： 若在 \(D\) 上，\(f(x,y)\leq g(x,y)\)，则：\(\iint_Df(x,y)d\sigma\leq\iint_Dg(x,y)d\sigma\)
- \(\Big{|}\iint_Df(x,y)d\sigma\Big{|}\leq\iint_D|f(x,y)|d\sigma\)
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性质5： 设 \(M,m\) 分别是 \(f(x,y)\) 在闭区域 \(D\) 上的最大值和最小值，\(\sigma\) 是 \(D\) 的面积，则有 \(m\sigma\leq \iint_Df(x,y)d\sigma\leq M\sigma\)
- \(\iint_Dmd\sigma\leq \iint_Df(x,y)d\sigma\leq \iint_DMd\sigma\)
- \(m\leq \dfrac{1}{\sigma}\iint_Df(x,y)d\sigma\leq M\)
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性质6（二重积分的中值定理）： 设函数 \(f(x,y)\) 在闭区域 \(D\) 上连续，\(\sigma\) 是闭区域面积，则在 \(D\) 上至少存在一点 \((\xi,\eta)\) 使得 \(\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\sigma\)
10.2 二重积分的计算法
- 不难发现，二重积分（累次积分、二次积分）计算时通常后积分的上下限是常数，先积分的上下限是函数
- 累次积分每层积分相当于求一元函数定积分，将被积函数、积分上下限的其他变量视为常数
10.2.1 直角坐标系
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按 X 型求积分：
- 这种先对 \(y\) 后对 \(x\) 的二重积分也记作：\(\int_a^bdx\int_{\varphi_2(x)}^{\varphi_1(x)}f(x,y)dy\)
- 这种先对 \(y\) 后对 \(x\) 的二重积分也记作：\(\int_a^bdx\int_{\varphi_2(x)}^{\varphi_1(x)}f(x,y)dy\)
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按 Y 型求积分：
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如何选择按 X 型还是按 Y 型：
① 尽量能写成一个积分的
② 根据区域 D 的形状
③ 按一种积不出来时，就尝试另一种
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交换积分次序：
10.2.2 极坐标
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根据区域 D 与极点 O 的位置，可分为四种积分情况（红书P163）
- 极点 O 在区域 D 之外
- 极点 O 在区域 D 的边界上
- 极点 O 在区域 D 的内部
- 环形域
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适合用极坐标计算二重积分的被积函数形式
- \(f(\sqrt{x^2+y^2})\)、\(f(\dfrac{y}{x})\)、\(f(\dfrac{x}{y})\)
- 之所以适合是因为这些函数在极坐标下可化为 \(r,\theta\) 的一元函数
- 其他可能适用的函数：\(f(x^2+y^2)\)
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如图推导结果中的 \(\dfrac{1}{2}\Delta\theta(\Delta\rho)^2\) 视为高阶无穷小，忽略不计，于是小区域面积为 \(\Delta\sigma=\rho\cdot\Delta\rho\cdot\Delta\theta\)
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极坐标计算二重积分：\(\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\cdot\rho \;d\rho d\theta\)
- 即 \(\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\cdot\rho \;d\rho d\theta\)
- 转换方法是先作图画出积分域，然后根据积分域确定 \(\theta\) 的范围和 \(\rho\) 的范围，通常极径可以根据积分域的图形判断，或利用提供的直角坐标函数式，分别将 \(x,y\) 替换位极坐标表示然后得到 \(\rho=\rho(\theta)\)
- \(\rho(\theta)\) 的推导可通过观察，或利用极坐标的轨迹函数（通常是提供的直角坐标函数曲线）并结合极坐标与直角坐标关系进行转换
- 同样要根据极坐标获取直角坐标函数曲线，也可利用两类坐标间的关系进行转换获取
10.2.3 利用对称性和奇偶性
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积分区域 D 关于坐标轴对称的奇偶性对称
- 当积分区域 D 关于 x 轴对称，那么应该关注被积函数关于 y 变量的奇偶性（因为 y 的区间对称）
- 同理，当积分区域 D 关于 y 轴对称，则关注被积函数关于 x 变量的奇偶性
- 注意：被积函数是可以展开然后对展开的各项分别应用奇偶性对称的
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积分区域 D 关于平行于坐标轴的直线对称的奇偶性对称（880 解析P163 (12)、(13)）
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积分区域 D 关于 \(y=x\) 的对称（轮换对称性）
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积分区域 D 关于远点对称的奇偶性对称（880 解析P170）