2.1 导数概念
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“可导”的几何含义可以理解为“光滑”
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导数：函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 的导数为 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 之比当 \(\Delta x \to 0\) 时的极限（若存在），极限存在称函数在 \(x_0\) 可导，极限不存在即不可导；若极限不存在且为无穷大，则称导数为无穷大
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导数定义求极限： 若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点可导，则（注意如下结果不一定能反过来证明可导，需满足可导的充要条件）
$\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0) $
$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}=f'(x_0) $\(\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+a\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=af'(x_0)\)
\(\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0)-f(x_0+a\Delta x)}{\Delta x}=-af'(x_0)\)
\(\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+a\Delta x)-f(x_0+b\Delta x)}{\Delta x}=(a-b)f'(x_0)\)
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导数的不同记法：
- \(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
- \(y'|_{x=x_0}\)
- \(\dfrac{dy}{dx}|_{x=x_0}\)
- ……
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有的函数某点 \(x_0\) 两侧变化率不同，于是有单侧导数的存在（注意与左右极限的定义区分）
- 左导数：\(f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
- 右导数：\(f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
- 技巧： 如若可知 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续、且在 \((x_0,x_0+\delta)\) 是可导的，那么可通过求 \(\lim_{x\to x_0^+}f'(x)\) 是否存在，来证明右导数存在
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可导的充分必要条件： 函数在某点可导要求左右导数存在且相等
- 技巧：对于判断带有绝对值符的函数在某点的可导性，若函数整体有一个乘法因子在该点为 0，那么无论剩余乘法项是什么（只要连续），在该点一定可导（绝对值项的“尖锐性”被系数 0 抵消）
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导函数：若函数 \(y=f(x)\) 在区间 \(I\) 内每点处都可导，则称函数在区间 \(I\) 内可导，每个 \(x\) 极其导数值对应构成的函数称为导函数
- 根据可导与连续的关系，知该函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 内连续
- 导函数的极限表示：\(f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
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导函数的不同记法：
- \(y'\)
- \(f'(x)\)
- \(\dfrac{dy}{dx}\)
- ……
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导数 \(f'(x_0)\) 在几何上表示曲线 \(y=f(x)\) 在切点 \((x_0,f(x_0))\) 处切线的斜率
- 切线方程：\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
- 若要设置曲线 y 任意切点的的切线函数：\(Y-y=y'(X-x)\)
- 若切线函数经过 (a,b)，则 \(a-y=y'(b-x)\) 需要注意区分切线的变量和曲线的变量
- 法线方程：\(y-y_0=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\)
- 切线方程：\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
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可导与连续的关系：函数在某点可导，则函数在该点连续；反之不一定
- 注意：可导一定有切线，但有切线不一定可导（导数为无穷大时切线垂直于x轴）
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有关导数的重要结论：
- 可导的偶函数的导数是奇函数
- 反过来，奇函数 \(f(x)\) 的所有原函数 \(F(x)+C\) 一定是偶函数，因为积分常数项 \(C\) 不影响函数关于 y 轴的对称性
- 可导的奇函数的导数是偶函数
- 反过来，偶函数 \(f(x)\) 的所有原函数 \(F(x)+C\) 不一定是奇函数，因为积分常数项 \(C\) 影响函数关于原点的对称性
- 可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变
- 可导的偶函数的导数是奇函数
2.2 函数求导法则
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函数和、差、积、商求导法则（注意前提是u、v可导）：
- \([u(x) \pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)\)
- \((u+v-w)'=u'+v'-w'\)
- \([u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)
- \((uvw)'=[(uv)w]'=(uv)'w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'\)
- \([\dfrac{u(x)}{v(x)}]' = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\)
- \([u(x) \pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)\)
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根据反函数求导法则：反函数的导数等于直接函数导数的倒数
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复合函数 \(y=f[u],u=g(x)\) 求导：\(\dfrac{dy}{dx}=f'(u)g'(x)=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\)
- 注意区分 \([f(u)]'\) 和 \(f'(u)\)
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求导法则与公式详见同济教材P92
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分段函数求导：
① 对于定义域内每个分段区间内的函数正常求导（不含分段点）
② 对于每个分段点处的导数，按导数定义求取左右导数判断分段点是否可导
③ 综合上述结果得到求导结果
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难记的基本初等函数导数公式：
- \((a^x)'=a^x\ln a\)
- \((\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}\)
- \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\)；\((\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}\)
- \((\tan x)'=\sec^2 x=\dfrac{1}{\cos^2x}\)；\((\cot x)'=-\csc^2 x=-\dfrac{1}{\sin^2x}\)
- \((\sec x)'=\sec x \tan x=\dfrac{\sin}{\cos^2x}\)；\((\csc x)'=-\csc x \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin^2x}\)
- \((\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)；\((\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \((\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}\)；\((\text{arccot } x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}\)
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\((\sin^2x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\)
2.3 高阶导数
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二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
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四阶及更高阶的导数分别记作 \(y^{(4)},\cdots,y^{(n)}\) 或 \(\dfrac{d^4y}{dx^4},\cdots,\dfrac{d^ny}{dx^n}\)
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求高阶导数的方法可用
- 归纳法：多次接连的求取导数后总结规律，求导过程中可通过改变式子的形式方便总结
- 莱布尼茨公式（真题常考）
- 利用泰勒公式
例：归纳法求 \(y=\sin x\) 的 n 阶导数：
\(y'=\cos x=\sin(x+\dfrac{\pi}{2})\)， \(y''=cos(x+\dfrac{\pi}{2})=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2})=\sin(x+2\cdot\dfrac{\pi}{2})\)，\(y'''=\cos(x+2\cdot\dfrac{\pi}{2}) = \sin(x+3\cdot\dfrac{\pi}{2})\) ，归纳为 \(y^{(n)}=\sin(x+n\cdot\dfrac{\pi}{2})\)
-
一些高阶导数结论：
- \((x^n)^{(n)}=n!\)
- \((a^x)^{(n)}=a^x\ln^na\)
- \((\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\dfrac{\pi}{2})\)
- \((\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot\dfrac{\pi}{2})\)
- \((\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\)
- \((\dfrac{1}{ax+b})^{(n)}=(-1)^n\dfrac{a^n \cdot n!}{(ax+b)^{n+1}}\)
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\((u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}\)
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\((uv)^{(n)}=\sum^n_{k=0}C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}\) （莱布尼茨公式）
- 其中 \(u^{(0)}=u,\;v^{(0)}=v\)，即零阶导数为函数本身
- 真题常见于考查 \(f(x)=x^ah(x)\) 在 \(x=0\) 的高阶导数，即求 \(f^{(n)}(0)\)，不难发现 x 的 a+1 阶导数为 0，而低于 a 阶导数的项 x = 0 是对应项为 0，所以这类题只要计算莱布尼茨公式展开后的一项或某几项即可
2.4 隐函数与参数方程函数的求导
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隐函数可以视作未直接表示为显函数（形如 \(y=f(x)\)）的函数形式 \(F(x,y)=0\)，将隐函数化为显函数称为隐函数的显化，但部分隐函数难于或无法显化
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隐函数求导的思想为将因变量 \(y\) 视为关于 \(x\) 的函数 \(y=y(x)\)，对隐函数 \(F(x,y)=0\) 两边同时求导
- 或利用多元函数微分法隐函数求导公式：\(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F'_x}{F'_y}\)
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对数求导法：适用于幂指函数的求导，如 \(y=(1+x^2)^{\sin x}\) 可化为 \(\ln y=\sin x\ln(1+x^2)\)
- 该方法也适用于式中存在连乘、连除的函数的求导
- 详见红书 P76
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由参数方程确定的函数指：通过参数方程 \(\begin{cases}x=\varphi(t) \\y=\psi(t)\end{cases}\) 确定 \(y\) 与 \(x\) 之间关系，因为若\(\varphi'(t)\neq0\)，知 \(\varphi(t)\) 单调，则有反函数 \(t=\varphi^{-1}(x)\)，再带入 \(\psi(t)\) 便得 \(y=y(x)\)
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对参数方程函数求一阶导数：
设 \(x=\varphi(t),y=\psi(t)\) 在区间内可导，且 \(\varphi'(t)\neq0\)，则：
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}\) ，因为反函数 \(t=\varphi^{-1}(x)\) 的导数为其直接函数的导数的导数，即 \(\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{\varphi'(t)}\)
于是有 \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)
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对参数方程函数求二阶导数：
利用上述一阶导数：\(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d\bigg(\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\bigg)}{dt} \cdot \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{\varphi'^2(t)} \cdot \dfrac{1}{\varphi'(t)} = \dfrac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{\varphi'^3(t)}\)
（注：\(\dfrac{dt}{dx}\) 的计算是在求反函数的导数，根据反函数求导结论得知结果为 \(\dfrac{dx}{dt}\) 的倒数）
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相关变化率：指两个变量之间存在相互关系，从而其变化率（导数）也存在一定关系，可以通过一个变化率求另一个变化率
2.5 函数的微分
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微分可以理解为函数自变量 x 取极小的增量时因变量 y 的（近似）改变量，\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x + o(\Delta x)\) 上述表达式表明 \(\Delta y\) 主要由 \(A\Delta x\) 决定，\(A\) 是常数，\(A\Delta x\) 则是关于 \(\Delta x\) 的线性函数，而表达式等号右侧其余部分由于导致的误差影响极小，因此视为比 \(\Delta x\) 高阶的无穷小。于是 \(\Delta y\) 可以近似表示为 \(\Delta y \approx A\Delta x\)，记为 \(dy =A\Delta x\) 并称为（\(y\) 在 \(x_0\) 对应 \(\Delta x\) 的）微分，\(dy\) 又称为 \(\Delta y\) 的线性主部
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微分的几何意义：即用线性增量近似表示非线性增量
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\(dy=f'(x_0)dx\)
对于 \(\Delta y=A\Delta x + o(\Delta x)\) 两边同时做除法得：\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = A + \dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}\)，
再对得式两边取极限得：\(\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}A + \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}=A\)，
即说明 \(A\) 为 \(y=f(x_0)\) 的导数，也表明若函数在 \(x_0\) 可微，则可导；反之同样成立（证明见书）。
又因为通常称 \(\Delta x\) 为自变量的微分，记为 \(dx\)，所以有 \(dy=f'(x_0)dx\)
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可微和可导具有存在上的等价性，函数在某点可微的充要条件是可导
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连续、可导、可微之间的关系：
连续 \(\longleftarrow\) 可导 \(\longleftrightarrow\) 可微
不连续一定不可导
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\(\dfrac{dy}{dx}=f'(x_0)\)，由此导数又称“微商”
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微分的四则运算法则： 和导数很像，见同济书 P114
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复合函数微分法则：\(y=f(u),u=g(x)\) 则 \(y=f[g(x)]\) 的微分为 \(dy=y'_xdx=f'(u)g'(x)dx\)，也可以写为 \(dy=y'_udu\) 或 \(dy=f'(u)du\)
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函数的近似计算公式：\(f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)
- 本质上就是微分的另一种表示
- 对比拉格朗日中值定理式子：\(f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\)
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常用近似公式（假定 \(|x|\) 是较小数值，近似计算公式 \(x_0\) 取 0 ）
- \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\)
- \(\sin x \approx x\)（x 用弧度单位表达）
- \(\tan x \approx x\)（x 用弧度单位表达）
- \(e^x\approx1+x\)
- \(\ln(1+x)\approx x\)