这种平均值的题目都可以思考一下二分或者取特殊值的情况（本题便是）。
结论是，\(k = 1\) 时该式子必然能够取到最大值，利用数学归纳法以及反证，如果存在 \(k > 2\) 能够取到比 \(k = 1\) 还大的，不断扔掉最小的那一个，只保留最大的那一个，此时平均值显然更大，证毕。所以我们现在的问题变成了原树中最多能够被划分成多少个不相交的连通块，使得每个连通块的和都等于最大连通块的大小。
这个问题乍一看不好求，实际上处理起来非常简单，思考到此时不可能有两个最大的连通块会合并，所以每次从下往上 DP 的时候可以遇到等于最大值的连通块直接删掉，这样贪心一定是最优的。