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动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是算法领域的核心思想之一，广泛应用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的优化问题。相比于暴力递归的高时间复杂度，动态规划通过记录子问题的解，避免重复计算，实现时间效率的质的飞跃。本文将以经典的钢条切割问题为例，从原理到代码，手把手拆解动态规划的解题流程。

一、动态规划的核心特性

动态规划能高效解决问题的前提，是目标问题必须满足两个关键条件：

1. 最优子结构

原问题的最优解，包含了其子问题的最优解。例如钢条切割问题中，长度为 n 的钢条最大收益，必然包含了某个切割点 i 对应的“长度 i 的收益 + 长度 n-i 的最大收益”。

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2. 重叠子问题

递归求解原问题时，会反复遇到相同的子问题。暴力递归会对这些子问题重复计算，而动态规划通过“备忘录”或“DP 数组”存储子问题的解，实现一次计算，多次复用。

二、钢条切割问题：问题定义

给定一根长度为 n 的钢条，和一个价格数组 price[0...n-1] ，其中 price[i] 表示长度为 i+1 的钢条的售价。要求将钢条切割成若干段，使得总收益最大。

示例输入：

- 钢条长度 n=4

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- 价格数组 price = [1,5,8,9] （对应长度 1~4 的钢条价格）

示例输出：1示例输出：10（切割为两段长度为 2 的钢条， 5+5=10 ）

三、动态规划解题三步法

动态规划的解题过程可总结为 定义状态 → 推导状态转移方程 → 确定边界条件，下面结合钢条切割问题逐一拆解。

步骤1：定义 DP 数组状态

状态定义是动态规划的核心，需要准确描述子问题的含义。对于钢条切割问题，我们定义：

dp[i] 表示长度为 i 的钢条的最大收益

步骤2：推导状态转移方程

状态转移方程描述了原问题与子问题之间的关系。对于长度为 i 的钢条，我们可以尝试所有可能的切割点 j （ 1 ≤ j ≤ i ）：

- 切下长度为 j 的钢条，收益为 price[j-1]

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- 剩余长度为 i-j 的钢条，最大收益为 dp[i-j]

因此，状态转移方程为：

dp[i] = \max_{1 \le j \le i} (price[j-1] + dp[i-j])

步骤3：确定边界条件

边界条件是 DP 数组的初始值，对应最小的子问题解。当钢条长度为 0 时，收益为 0，即：

dp[0] = 0

四、自底向上实现动态规划（C++ 代码）

动态规划的实现分为 自顶向下（带备忘录的递归） 和 自底向上（迭代） 两种方式。自底向上从最小的子问题开始，逐步求解更大的问题，空间和时间效率更优，也是 LeetCode 等平台的常用写法。

以下是可直接提交的 C++ 代码，适配 Dev-C++、VSCode 等编译器：

代码运行结果：

五、算法复杂度分析

- 时间复杂度：O(n^2)。外层循环遍历 n 个长度，内层循环枚举每个长度的切割点，总共执行 n(n+1)/2 次操作。

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- 空间复杂度：O(n)。需要一个大小为 n+1 的 DP 数组存储子问题解。

对比暴力递归 O(2^n) 的时间复杂度，动态规划的优化效果十分显著，尤其当 n 较大时（如 n=30 ），暴力递归会因超时无法运行，而动态规划可瞬间出解。

六、动态规划的解题拓展

掌握钢条切割问题后，我们可以将动态规划的解题思路迁移到其他经典问题中：

1. 0-1 背包问题：状态定义为 dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量 j 的背包的最大价值。

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2. 最长上升子序列：状态定义为 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长上升子序列长度。

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3. 最小路径和：状态定义为 dp[i][j] 表示从左上角到 (i,j) 位置的最小路径和。

核心思路不变：找到问题的最优子结构和重叠子问题，定义合理的状态，推导状态转移方程，最终通过迭代或递归求解。

七、总结

动态规划并非遥不可及的算法技巧，其本质是 “用空间换时间”，通过记录子问题的解避免重复计算。解决动态规划问题的关键在于状态定义和状态转移方程推导，而这需要通过大量的练习来积累经验。希望本文能帮助你理解动态规划的核心思想，在后续的算法学习中更上一层楼！