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第一章 绪言

第一节 背景介绍
新型冠状病毒肺炎（COVID-19简称：新冠肺炎）疫情对全世界而言是一次严重危机和严峻考验，更是近百年以来我们遭遇的影响范围最广程度最深的一次全球性大流行病。新冠肺炎属于严重急性呼吸系统传染性疾病，主要是由2019新型冠状病毒（COVID-19）感染引起，具有传染性强、家族聚集现象、人群普遍易感、传播方式容易实现等特点。在人类面对大规模暴发的传染性疾病当中，仅仅是传统的公共卫生早发现、早隔离、早治疗、切断传染源和控制传播途径等措施最终并不能够控制住疫情。实际上，“封城”“闭关”在社会人员高速流动的现代社会属于短时间内的非常应急之举，会给全球经济、民众正常生活造成很严重的影响，敞开国门、开放流动是世界发展的必然趋势。接种疫苗是控制疫情的另外一个十分重要的根本措施，让人类能远离甚至消灭许多传染病。各种用接种疫苗治疗传染病的历史经验已经被证明是预防、控制传染病最经济和最有效的措施。因此，现如今我们迫切需要既安全又有效的疫苗以及正确的接种策略来控制这个在全球肆虐已久的新冠病毒，新型冠状病毒疫苗的应用不仅是一个生物医学的紧迫问题，更是一个关乎经济社会稳定乃至政治的根本性问题。
目前，新冠肺炎疫情还持续在世界各地蔓延，人们对于疫情何时能得到全面控制都十分的关心。当前我国很多地方没有本土新发病例，防疫形势稳中向好，这就容易使得公众对于疫情防控的长期性和持久性视而不见。因为我们世界是开放的、互联互通的，所以即便本地已无新增新冠肺炎病例，我们中的绝大多数人也都是新冠肺炎的易感染者，如果不采取有效的防控措施，那么付出的代价也将是相当巨大的，在这样的情况下，接种疫苗就成为了预防新冠肺炎最经济且有效的措施。

第二章 传染病模型研究基础

第二节 SI模型
这个模型将人群分为两类：易感染者(susceptible)和已感染者(infective)，易感染者即健康状态的人，有可能被感染成为已感染者；已感染者即处于感染状态的患者，具有一定的传染性；分别简称为健康人和患者。我们设所考察地区的总人数N不变，时刻t健康人和患者在总人数中的比例分别记为S(t)和i(t)，则显然有。已感染者I易感染者S,我们假设每个患者每天有效接触的人数是常数λ,称之为接触率，且当健康人被有效接触后立即被感染成为患者，λ也称感染率。
根据上述假设，则每个患者每天有效接触的健康人数是，全部患者每天有效接触的健康人数是，这些健康人一经接触立即被感染成为患者，于是患者比例满足以下微分方程：

这就是logistic模型。
大致画出的图形如下图1所示，它是一条形曲线。患者比例从快速上升，通过曲线的拐点后上升速度变缓。当时，即最终所有健康人都将被感染成为患者。这显然不符合现实情况。究其原因，是模型只考虑了健康人可以被感染成为患者，而没有考虑到患者同时也可以被治愈恢复健康的情况。

图1 logistic模型的曲线

第三章 基于疫苗接种的数学模型

第一节 应用SIR模型
动力系统模型（Susceptible-Infected-RecoveredDynamicModel）是常用的流行病传播模型，我们假设群体的初始人口为。考虑死亡率和出生率且假设其保持不变，即群体人口数在疫情传播与疫苗接种期间保持不变，记为易感染人群数，为已感染人群数，为康复人群数，传染率记为，治愈率记为，出生率和死亡率均记为。易感群体通过与已感染患者有效接触即被感染，康复人群由感染患者转化而来。因此得到如下动力系统模型：

图6武汉市2020年1月至2月疫情数据统计折线图
可以看到，在不采取任何用于控制疾病传播扩散的干涉措施时，新冠肺炎病毒传播快速，受感染的人数迅速成倍的增加，如若继续放任下去必将造成医疗资源迅速崩溃，病死率大幅上升，这无疑会让政府和民众为此付出沉重的代价。分析表明依靠人群自然感染达到群体免疫的措施是非常不可取的，实现群体免疫的最佳途径必定是让尽可能多的人群接种有效的新冠疫苗。为达到最佳的疫情控制效果，即使已感染人数达到最少，就必须制定有效的防控措施、治疗策略。

第四章 基于疫苗脉冲接种的SIR动态模型

第一节 问题描述与贡献
采取有效的公共卫生干预措施是阻止疾病在人群中大规模传播的重要步骤。疫苗接种动力系统可以被表述为非线性的微分方程组，通过离散化把最优控制问题转化为非线性规划问题，本文引入了控制约束和状态约束，并对疫苗接种的时间间隔点进行了优化，把最优控制问题通过离散化转化为非线性规划问题，可以有效地处理各种状态约束和控制约束下的多轮次疫苗接种问题，并根据约束条件和测试表现调整疫苗接种水平，从而寻求疫苗接种策略对疾病消除的最优条件，使我们建立的模型可以更加贴合实际，继而为传染病的预防与控制在医学领域提供理论依据，让人们能够更好地了解疫苗的效用，防止接种疫苗的犹豫，并为选择接受疫苗的人提供保证。
第二节 施行疫苗接种的SIR模型
疫苗接种是控制传染病传播扩散的一种非常有效的措施。考虑到疫苗接种在空气动力学模型中的效果，包括连续和间断，上一章我们已经对连续接种疫苗的策略进行了分析。然而这一策略并不十分现实，太过于理想化，在实际的生活中，我们认为疫苗的接种是间断的、以脉冲的形式进行的。
首先，我们对以上模型（1）进行离散化。考虑在时间段之中总共进行N次接种，并且在时刻发生，

第五章 总结与展望

第一节 模型的评价
一、模型的优点
（1）将医学问题转化为数学问题的过程中产生了许多分析和讨论，这些量化结果所提供的关于传染病发展和对未来的预测在很大程度上是理论且可靠的。
（2）模型中涉及的参数都有相应的数据来源，变量之间关系清晰，便于模型求解。
（3）模型在宏观上给社会一个清晰的概念，易于被社会接受，对政府和人们采取疫苗接种措施起到了指导作用，具有一定的实用价值和直观性。
（4）本文所建立的模型可以很好的应用在生活中的其他地方，在现实生活中具有很强的实用性。
二、模型的不足
⑴模型中涉及到较多参数，在实际传播过程中，容易受外界因素变化的影响而改变，其稳定性具有相对性，还需要进行进一步的讨论。
⑵模型参数有其自身的随机性，虽然对已知数据采用了统计平均的处理方法，但计算结果仍有一定的误差。
⑶模型过于精简，为便于计算将真实情况过度理想化。
第二节 模型的推广
本文建立的传染病模型的方法和思想也很适用于其他类似的问题，可广泛应用于人口、交通、肿瘤、战争、几何、物理、化学、体育、社会、经济等领域。
第三节 总结
本文主要是根据武汉市1月至二月的疫情发展状况进行相关分析与数据拟合验证，对真实情况有良好的适配性。但是由于数据不够完整，不能够做出完整的预测，如果能够利用新冠肺炎疫苗接种的相关实测数据对结果进行验证，然后再进行最优化会更有意义，有助于政府、医疗卫生机构和人们充分的认识疫情发展情况，并能够总结经验教训，在下次出现类似疫情时可以迅速做出应对,所以本文所述策略未必是最优方案。不同省市乃至同一省市不同地区，所采取的疫苗接种策略可能由于当下疫情发展状况、医疗卫生水平、硬件设施水平、管理理念等存在差异而产生很大的不同。人群疫苗接种涉及到很多细节的内容，是一项专业性很强的工作。工作人员要科学制定免疫接种计划，规范实施免疫接种操作，以此来避免不规范、不合理行为的出现，保证群体免疫效果。总而言之，各地区政府应因地制宜，充分利用好现有条件，在把控好疫情发展状况的情况下制定最适宜于本地区的疫苗接种策略，大力动员群众，做到优质、高效的完成疫苗接种，坚决做到疫情防控。

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