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向量数学是计算机图形学的基石，贯穿从几何建模到最终渲染的每一个环节。以下是针对图形学领域的重点补充：

一、图形学特有的向量表示与运算

1.1 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

• 扩展维度：三维点/向量用四维表示，如点(x,y,z,1)(x,y,z,1)，方向向量(x,y,z,0)(x,y,z,0)

• 统一变换：将平移、旋转、缩放统一为矩阵乘法

• 透视变换：方便实现投影变换，w分量用于透视除法

• 区分点与方向：w=0时为方向向量（不受平移影响），w=1时为点

1.2 颜色向量

• RGBA表示：颜色通常表示为四维向量(r,g,b,a)(r,g,b,a)

• 颜色运算：颜色混合、光照计算使用向量运算

• 色域转换：通过矩阵乘法实现RGB到其他色彩空间的转换

二、几何处理中的向量应用

2.1 表面法线计算

cpp

// 三角形法线计算：叉积标准化 Vector3 ComputeTriangleNormal(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2) { Vector3 u = p1 - p0; Vector3 v = p2 - p0; Vector3 normal = CrossProduct(u, v); return Normalize(normal); }

2.2 顶点法线平均

• 光滑表面：共享顶点的面法线加权平均

• 硬边：为同一几何位置存储不同法线（顶点复制）

2.3 碰撞检测

• 分离轴定理：使用点积测试凸体相交

• 射线与三角形求交：Möller-Trumbore算法（基于向量）

• 包围体测试：AABB、OBB、球体的快速剔除

三、变换与坐标系统

3.1 变换矩阵的向量基础

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模型变换矩阵 = 缩放 × 旋转 × 平移 View Matrix = [Right, Up, Forward, Position]^T

3.2 坐标空间转换

1. 模型空间→世界空间→观察空间→裁剪空间→屏幕空间

2. 法线变换：使用逆转置矩阵保持垂直性

3. 切线空间：用于法线贴图，TBN矩阵(Tangent, Bitangent, Normal)

3.3 视锥体裁剪

• 平面方程：n⃗⋅p⃗+d=0n⋅p​+d=0

• 点积判断：n⃗⋅p⃗+d>0n⋅p​+d>0 表示在平面前方

四、光照与着色

4.1 经典光照模型

glsl

// Phong光照模型中的向量计算 vec3 L = normalize(lightPos - fragPos); // 光线方向 vec3 N = normalize(normal); // 法线 vec3 V = normalize(viewPos - fragPos); // 视线方向 vec3 R = reflect(-L, N); // 反射方向 float diff = max(dot(N, L), 0.0); // 漫反射 float spec = pow(max(dot(V, R), 0.0), shininess); // 镜面反射

4.2 BRDF（双向反射分布函数）

• 基于向量的微表面理论

• Cook-Torrance模型：法线分布、几何遮蔽、菲涅尔项

• 各向异性BRDF：考虑切线方向

4.3 环境光遮蔽

• 法线半球积分

• 屏幕空间环境光遮蔽（SSAO）：基于深度和法线缓冲区

五、纹理与UV映射

5.1 纹理坐标插值

• 重心坐标：P⃗=αA⃗+βB⃗+γC⃗P=αA+βB+γC

• 透视正确插值：需要在裁剪空间进行插值

5.2 法线贴图

• 切线空间法线：(0,0,1)(0,0,1)表示与表面法线对齐

• 世界空间转换：Nworld=TBN×NtangentNworld​=TBN×Ntangent​

5.3 视差映射与浮雕映射

• 高度场偏移：基于视线方向与法线的点积

• 光线步进方向：沿观察向量的切平面分量

六、几何着色与曲面细分

6.1 贝塞尔曲线/曲面

• 控制点：向量数组

• de Casteljau算法：递归线性插值

• 法线计算：参数曲面的偏导数叉积

6.2 曲面细分

• PN三角形：基于顶点位置和法线生成平滑曲面

• 置换贴图：沿法线方向偏移顶点：P′=P+h⋅NP′=P+h⋅N

七、屏幕空间技术

7.1 深度缓冲

• 深度值归一化：透视除法后的z值

• 深度比较：用于遮挡测试

7.2 屏幕空间反射（SSR）

• 视线向量：从相机到像素

• 反射向量计算：R=I−2(I⋅N)NR=I−2(I⋅N)N

• 射线步进：在屏幕空间追踪反射光线

7.3 屏幕空间阴影（SSS）

• 光线方向到光源

• 深度比较判断遮挡

八、物理模拟相关

8.1 刚体动力学

cpp

// 角速度更新 Vector3 torque = CrossProduct(forcePoint - centerOfMass, force); Vector3 angularAcceleration = inverseInertiaTensor * torque; angularVelocity += angularAcceleration * dt; // 旋转更新（四元数表示） Quaternion rotationDelta = Quaternion(angularVelocity * dt); orientation = Normalize(rotationDelta * orientation);

8.2 粒子系统

• 位置更新：pnew=pold+v⋅dtpnew​=pold​+v⋅dt

• 速度更新：vnew=vold+a⋅dtvnew​=vold​+a⋅dt

• 力场：重力、风力、涡旋场等

8.3 流体模拟（简化）

• 速度场：每个网格点存储速度向量

• 平流项：u⋅∇uu⋅∇u

• 压力梯度：∇p∇p

九、着色器编程优化

9.1 向量化运算

• SIMD优化：一次操作处理多个分量

• GLSL/HLSL内置函数：dot(),cross(),normalize(),reflect(),refract()

• 着色器中的分支优化：基于向量运算避免if语句

9.2 近似计算

• 快速标准化：rsqrt近似

• 小角度近似：sin⁡θ≈θsinθ≈θ，cos⁡θ≈1cosθ≈1

• 反射向量近似：避免reflect()函数的开销

十、现代图形API中的向量

10.1 数据布局

cpp

// 顶点数据结构（内存对齐优化） struct Vertex { Vector3 position; // 位置 Vector3 normal; // 法线 Vector2 texcoord; // 纹理坐标 Vector3 tangent; // 切线（法线贴图用） // 16字节对齐优化 };

10.2 计算着色器中的向量

• GPU上的并行向量运算

• 波前（Wavefront）级别的向量操作

• 共享内存中的向量数据交换

10.3 光线追踪中的向量

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// 光线结构 struct Ray { Vector3 origin; Vector3 direction; float t_min, t_max; }; // 光线-球体求交 bool IntersectSphere(Ray ray, Sphere sphere) { Vector3 oc = ray.origin - sphere.center; float a = Dot(ray.direction, ray.direction); float b = 2.0 * Dot(oc, ray.direction); float c = Dot(oc, oc) - sphere.radius * sphere.radius; float discriminant = b*b - 4*a*c; return discriminant >= 0; }

十一、实用技巧与注意事项

11.1 精度问题

• 世界空间使用双精度/高精度浮点数

• 屏幕空间使用半精度浮点数

• 法线、切线等方向向量需要定期重新标准化

11.2 左手 vs 右手坐标系

• DirectX：左手坐标系（z向前）

• OpenGL：传统为右手坐标系（z向后）

• 法线方向、叉积顺序需保持一致

11.3 常见陷阱

• 法线变换不正确的"游泳"效果

• 透视除法过早导致的插值错误

• 没有正确处理w分量的齐次坐标

结语

在计算机图形学中，向量不仅是一种数学工具，更是表达几何、光照和物理的基本语言。从最简单的顶点位置到复杂的光线追踪算法，向量运算无处不在。掌握向量数学在图形学中的应用，意味着能够：

1. 高效实现图形算法

2. 深入优化着色器性能

3. 正确理解渲染管线各阶段

4. 灵活设计新颖的视觉效果

随着实时光线追踪和机器学习在图形学中的应用加深，向量运算的重要性将进一步增强。理解向量背后的几何直觉，往往比记住公式更为重要——它能帮助你在面对复杂图形问题时，找到最优雅高效的解决方案。